青蛙题库

青蛙过河

一只青蛙想要过河。假定河流被等分为若干个单元格，并且在每一个单元格内都有可能放有一块石子（也有可能没有）。青蛙可以跳上石子，但是不可以跳入水中。

给你石子的位置列表 stones（用单元格序号升序表示），请判定青蛙能否成功过河（即能否在最后一步跳至最后一块石子上）。

开始时，青蛙默认已站在第一块石子上，并可以假定它第一步只能跳跃一个单位（即只能从单元格 1 跳至单元格 2 ）。

如果青蛙上一步跳跃了 k 个单位，那么它接下来的跳跃距离只能选择为 k - 1、k 或 k + 1 个单位。另请注意，青蛙只能向前方（终点的方向）跳跃。

示例1:

输入：stones = [0,1,3,5,6,8,12,17]
输出：true
解释：青蛙可以成功过河，按照如下方案跳跃：跳 1 个单位到第 2 块石子, 然后跳 2 个单位到第 3 块石子, 接着 跳 2 个单位到第 4 块石子, 然后跳 3 个单位到第 6 块石子, 跳 4 个单位到第 7 块石子, 最后，跳 5 个单位到第 8 个石子（即最后一块石子）。

示例2:

输入：stones = [0,1,2,3,4,8,9,11]
输出：false
解释：这是因为第 5 和第 6 个石子之间的间距太大，没有可选的方案供青蛙跳跃过去。

方案动态规划

思路:

状态定义: dp[i][k]表示青蛙能否达到现在所处的石子编号为i且上一次跳跃距离为k的状态
状态转移方程: dp[i][k]=dp[j][k-1]||dp[j][k]||dp[j][k+1] ，其中j代表了青蛙的上一次所在的石子编号，满足stones[i]-stones[j]=k ，并且有两个结论:

现在所处的石子编号为i时，上一次跳跃距离k必定满足k≤i。我们对i从后向前枚举上一次所在的石子编号j,如果上一次跳跃的距离k超过j+1时，立即停止跳跃。因为在第j个石子上我们至多只能跳出j+1的距离。
当第i个石子与第i−1个石子距离超过i时，青蛙必定无法到达终点。即当stones[i]-stones[i-1]>i 时，return false

初始状态: dp 元素初始为 false

状态转移的初始条件为 dp[0][0]=true，表示：现在所处的石子编号为0（石子从 00 开始编号），上一次跳跃距离为0（这样可以保证青蛙的第一次跳跃距离为 1）

问题答案: 当青蛙到达第n-1块石子的时候，如果dp[n-1][k]为真时，我们就知道青蛙可以到达终点。返回true

:::details 点击查看代码

function canCross(stones) {
    let len=stones.length;
    let dp=new Array(len).fill(false).map(()=>new Array(len).fill(false));
    dp[0][0]=true;
    for(let i=1;i<len;i++){
        if(stones[i]-stones[i-1]>i){
            return false;
        }
    }
    for(let i=1;i<len;i++){
        for(let j=i-1;j>=0;j--){
            let k=stones[i]-stones[j];
            if(k>j+1){
                break
            }
            dp[i][k]=dp[j][k-1]||dp[j][k]||dp[j][k+1];
            if(i==len-1&&dp[i][k]){
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
};

:::

性能分析:

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

青蛙过河​

方案 动态规划​

青蛙过河

方案动态规划